Задача Кеплера

Задача о движении тел в поле тяжести небесных светил, являющаяся частным случаем задачи о движении в поле центральных сил, известна на протяжении нескольких тысячелетий истории человечества и в настоящее время рассматривается как в школьных курсах физики, астрономии, так и в вузовских курсах классической механики и астрономии.

Большую часть наших знаний о движении планет объединили в себе за­коны Кеплера, полученные на основе анализа данных астрономических на­блюдений, которые формулируются следующим образом.

1.Всякая планета движется по эллиптической орбите, в одном из фоку­сов которой находится Солнце.

2.Скорость планеты возрастает по мере удаления от Солнца таким обра­зом, что прямая, соединяющая Солнце и планету, в равные промежутки вре­мени заметает одинаковую площадь.

3.Для всех планет, вращающихся вокруг Солнца, отношение T²/R³ оди­наково (Т - период обращения планеты вокруг Солнца, R - большая полуось эллипса).

Отметим, что получить аналитическое решение задачи Кеплера удается только в случае рассмотрения движения двух тел, взаимодействующих по закону обратных квадратов. Задача Кеплера для трех и более тел аналитиче­ского решения не имеет, может быть решена только численно.

В качестве отправной точки решения задачи Кеплера рассмотрим дви­жение двух тел, взаимодействующих друг с другом, считая их при этом ма­териальными точками. Функция Лагранжа такой системы имеет вид

где r₁, r₂ – радиусы-векторы первого и второго тела, соответственно, U(|r₁ - r₂|) – потенциальная энергия взаимодействия тел,. g - гравитационная посто­янная. Введем вектор взаимного расстояния обоих тел

Тогда в системе отсчета с началом координат в центре масс, рассматри­ваемой системы тел,

m₁r_l+m₂r₂=0.

Подставляя и выражая получаем

введено обозначение

которую принято называть при­веденной массой. Функция формально совпадает с функцией Лагранжа одной материальной точки с массой m, движущейся в поле с потенциалом U(|r|), симметричным относительно начала выбранной системы отсчета.

Таким образом, задача о движении двух взаимодействующих тел сводится к решению задачи о движении одного тела с массой m в заданном внешнем поле U(|r|), создаваемом неподвижным центром с массой m₁+m₂. Отме­тим, что если масса одного из взаимодействующих тел значительно меньше массы другого тела, последнее можно рассматривать как неподвижный при­тягивающий центр, и найденная зависимость r(t) будет описывать траекто­рию движения более легкого тела. В противном случае, решив задачу о движении тела с массой т в потенциале U(|r|) по зависимости r(t) находят траектории каждой частицы r₁(t) r₂(t).

В итоге в полном соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона получаем