Математическая модель колебательного движения

На пружину жесткостью k подвешивается груз массой m. Систему приводят в движение, смещая груз на расстояние x от положения равновесия. Возвратное движение маятника происходит за счет действия силы упругости. Энергия расходуется на преодоление силы сопротивления внешней среды.  

 

При этом колебания являются затухающими, поскольку окружающая среда оказывает влияние на колебательную систему. Если есть вязкое трение, то при небольших скоростях можно силу сопротивления считать пропорциональной первой степени скорости:

F_сопр = -rV,

Отметим, что при повышении скорости (например, в газовой среде при повышении скорости потока частиц, движение из ламинарного переходит в турбулентное) появляется дополнительная зависимость от квадрата скорости.  

Примечание: коэффициент r зависит от свойств среды и определяется размерами тела.

Для того чтобы получить представления о характере движения нужно знать значения проекций радиус-вектора и вектора скорости на оси X,Yи Z в определенный момент времени t.

Примечание: вследствие ограниченности памяти электронно-вычислительного устройства время при расчетах может принимать только дискретные значения. 

 

Поскольку колебания происходят только вдоль одной оси, то для определенности будем рассматривать проекции векторов относительно оси Ox. Преобразуем данные выражения в дискретную математическую модель, описывающую колебания пружинного маятника. Для этого воспользуемся методом Эйлера.