Движение тела с учетом сил сопротивления среды

Одной из важнейших задач аэро- и гидродинамики является исследование движения твёрдых тел в газе и жидкости. В частности изучение тех сил, с которыми среда действует на движущееся тело. Эта проблема приобрела особенно большое значение в связи с бурным развитием авиации и увеличением скорости движения морских судов.

Рассмотрим в качестве примера линейное движение тела, являющееся одним из наиболее распространенных видов механического движения. Данный вид движения является одномерным и самым простым. 

Математическая модель движения определяется системой тождеств:

–  определяем скорость тела как первую производную его перемещения по времени;

– основное уравнение динамики Ньютона,

где  – сила сопротивления, действующая на движущиеся тело со стороны внешней среды.

Характер движения тела в такой среде определяется числом Рейнольдса. Число Рейнольдса – это нефиксированная величина, характеризующая режимы потока вязкой среды относительно движущегося тела. Для тела с плотностью ρ и линейными размерами L, передвигающегося со скоростью потока v, с коэффициентом вязкости среды η, число Рейнольдса:

R_е = ρvL/η.

Низкие значения числа Рейнольдса указывают на ламинарное движение потока жидкости, т. е. движения слоями, которое хорошо описывается математически. При более высоких значениях числа Рейнольдса поток становится турбулентным и сложным.

Выберем в качестве модели движущегося тела – шар, тогда линейный размер тела L совпадает с его диаметром d. Первоначально будем считать, что значение числа Рейнольдса меньше критического (R_екр=0,5), тогда движение потока жидкости становится ламинарным. В таком случае при движении шара радиуса r в среде с коэффициентом вязкости η  возникает сила Стокса, которая определяется формулой:

.

При увеличении скорости потока частиц среды V (переход ламинарного течения в турбулентное) значение числа Рейнольдса превысит указанное критическое значение. В этом случае в среде возникает сила гидродинамического (аэродинамического) сопротивления, которая определяется формулой:

,

где с - безразмерный коэффициент, определяющий сферическую форму тела.

Сила Стокса в случае турбулентного движения значительно меньше силы аэродинамического (гидродинамического) сопротивления, поэтому, не смотря на ее присутствие в уравнении движения шара, значительного влияния на полученные результаты она не оказывает.

Компьютерное моделирование систем часто требует решения дифференциальных уравнений. Важным методом является метод сеток, включающий в себя метод конечных разностей Эйлера. Он состоит в том, что область непрерывного изменения одного или нескольких аргументов заменяют конечным множеством узлов, образующих одномерную или многомерную сетку, и работают с функцией дискретного аргумента, что позволяет приближенно вычислить производные и интегралы. При этом бесконечно малые приращения функции и приращения ее аргументов заменяются малыми, но конечными разностями.

Применяя метод Эйлера, преобразуем математическую модель в конечноразностную форму путем замены дифференциала функции на приращение этой же функции. В общем случае имеем следующую пошаговую схему расчета:

Вычислительная модель позволяет не только определить в любой момент времени физические параметры движения тела, но и провести сравнения этих характеристик для различных тел и сред. Рассмотрим случай для двух сред, причем ρ₁ > ρ₂ и η₁ > η₂. Также стоит добавить, что плотность движущегося тела ρ₀ >> ρ1,ρ2

Полученные в ходе исследования результаты визуализированы в виде графиков. Благодаря этому можно наглядно отследить зависимости координаты  от времени, скорости от времени, скорости от координаты и т.д. График функции y, v – среда № 1; y1, v1 – среда № 2 (см. Рис. 1). На основе полученных данных можно также рассчитать ряд значимых величин – потенциальную, кинетическую и полную энергию.

Рис. 1. Графики зависимости

 

            Данные графики являются примерами анализа результатов вычислительного эксперимента и представлены в обобщающем виде, с целью показать графические возможности пакета MathCAD. Далее разобран конкретный пример реализации модели в MathCAD’е.