Движение тела под углом к горизонту с учетом сил сопротивления среды

Движение тела, брошенного с некоторой начальной скоростью V_о под углом α к горизонту, представляет собой сложное явление: равномерное движение по горизонтальному направлению и одновременно происходящее движение под действием силы тяжести равноускоренное в вертикальном направлении.

Изучение особенностей такого движения началось довольно давно, еще в XVI веке и было связано с появлением и совершенствованием артиллерийских орудий.

Законы полета метательных снарядов не привлекали особого внимания ученых до тех пор, пока не были изобретены дальнобойные орудия, которые посылали снаряд через холмы или деревья - так, что стреляющий не видел их полета.

Близко к правильному решению о полете пушечных ядер подошел итальянский математик Тарталья, он сумел показать, что наибольшей дальности полета снарядов можно достичь при направлении выстрела под углом 45° к горизонту. В его книге "Новая наука" были сформулированы правила стрельбы, которыми артиллеристы руководствовались до середины ХVII века.

Однако, полное решение проблем, связанных с движением тел брошенных  горизонтально или под углом к горизонту, осуществил все тот же Галилей. В своих рассуждениях он исходил из двух основных идей: тела, движущиеся горизонтально и не подвергающиеся воздействию других сил будут сохранять свою скорость; появление внешних воздействий изменит  скорость движущегося тела независимо от того, покоилось или двигалось оно до начала их действия. Галилей показал, что траектории снарядов, если пренебречь сопротивлением воздуха, представляют собой параболы. Галилей указывал, что при реальном движении снарядов, вследствие сопротивления воздуха, их траектория уже не будет напоминать  параболу: нисходящая ветвь траектории будет идти несколько круче,  чем расчетная кривая.

Ньютон и другие ученые разрабатывали и совершенствовали новую теорию стрельбы, с учетом возросшего влияния на движение артиллерийских снарядов сил сопротивления воздуха. Появилась и новая наука – баллистика.

Посмотрим, как меняется скорость тела, брошенного под углом α к горизонту, с учетом сопротивления воздуха.

Рис. 1. Иллюстрация явления

Рассмотрим движение тела, брошенного под углом α к горизонту с начальной скоростью V_o (см. рис. 1). Спроецируем начальную скорость V_o и ускорение α на оси X и Y. Проекция начальной скорости на ось X равна V_ox = V_o cosα. Проекция ускорения a_x = 0, поскольку вектор g перпендикулярен оси X. Поэтому движение камня вдоль оси X будет равномерным. Проекция скорости V_x и координата x определяются соотношениями:

Проекция начальной скорости на ось Y равна V_oy = V_o sina. Проекция ускорения a_y = -g, поскольку вектор g направлен противоположно оси Y. Поэтому вдоль оси Y движение тела равнопеременное. В этом случае проекция скорости V_y и координата у тела задаются формулами:

Определим, по какой траектории движется брошенное тело, то есть найдем уравнение, связывающее между собой координаты тела по осям X и У. Для этого выразим время из зависимости X(t):

и подставим его в формулу для Y(t). Получаем квадратичную функцию Y(X):

Если выбрать систему координат таким образом, что x₀ = 0, у₀ = 0, то формула упрощается:

Графиком полученной функции у = y(x) является парабола, направленная ветвями вниз и пересекающая ось X в точках x₁ = 0 (начало координат) и x₂ = L (длина полета тела).

Математическая модель явления состоит из основного уравнения динамики Ньютона и уравнения, определяющего понятие скорости:

Применяя метод Эйлера, преобразуем математическую модель в конечноразностную форму – пошаговую схему расчета, используемую для решения на компьютере. Это система позволяет рассчитывать переменные величины, используя их значения, найденные на предыдущем шаге. Значение Δt = 0,01 с.

Следует заметить, что данная модель является универсальной и в зависимости от конкретной ситуации существует возможность изменять начальные и граничные условия.

Результат вычислительного эксперимента можно представить в виде графика, сравнивая при этом движения в воздушном и безвоздушном пространстве: сравнение траекторий, изменение значений углов и изменение энергий и действующих сил. Полученные графики представлены в разобранном примере (см. далее).